# 第 08 课 电容与 RC 的时间行为

先修：电流、电压、欧姆定律。用时：35 分钟。目标：从静态计算走向随时间变化的电路，能预测充电起点、终点和一个时间常数处的电压。

## 电容使电路拥有状态

电容能储存电荷分离产生的电场能量。对理想线性电容，Q = C × V；C 为电容量，单位 F，V 为两端电压。它的电流由电压变化率决定：i = C × dV/dt。现在不用先学微积分，只记住：变化越快，所需电流越大。

软件中的变量能保留状态，电容电压也与过去充放电的历史有关。但真实电容会漏电，有耐压、等效串联电阻等限制，不能把软件变量的无限精度套过来。

![RC 充电原理图与理论电压曲线](../assets/rc.svg)

## 逐点解释上电过程

假定 C 最初为 0 V，电源在 t = 0 从 0 V 跳到 3 V，R = 10 kΩ，C = 10 μF，输出不接负载。刚上电时电容电压仍为 0 V，电阻承担全部 3 V，所以初始电流 I0 = 3/10000 = 0.3 mA。

随着电容电压升高，电阻两端电压降低，充电电流逐渐变小。很久以后电容电压接近 3 V，理想直流稳态电流趋近零。所谓“电容隔直”是针对稳态，不是说刚通电也没有电流。

## 时间常数就是变化的尺度

τ = R × C = 10000 × 10 × 10⁻⁶ = 0.1 s = 100 ms。理想充电公式为 VC(t) = Vin × (1 − e^(−t/τ))。

| 时刻 | 最终值比例 | 本例 VC |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0% | 0 V |
| 1τ = 100 ms | 约 63.2% | 约 1.896 V |
| 3τ = 300 ms | 约 95.0% | 约 2.851 V |
| 5τ = 500 ms | 约 99.3% | 约 2.980 V |

这些公式只适用于本例的一阶线性 RC 条件。断开电源并让电容通过电阻 R 放电时，VC(t) = V初始 × e^(−t/RC)。只是悬空断开电源，并不等于提供了这条放电路径。[RC 充放电](https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/10-5-rc-circuits)。

## 先学预测再学波形测量

普通万用表更新速度可能不足以观察 100 ms 过程，因此本课图是公式生成的理论曲线，不是实测。先在纸上标出 0、1τ、3τ、5τ；后续用示波器观察时，再学习探头地线和采样设置。

电容不能在有限电流下瞬间改变电压，但理想电压源直接并接电容的模型会产生冲击电流这一理想化结果。因此实物中必须考虑线路阻抗和电源能力。有极性的电容必须正确接极性和耐压，断电后也可能存有能量；本阶段不要求进行额外电容实物实验。

## 自检

1. R 不变，C 加倍，时间常数怎样变化？
2. 本例 1τ 后是否已经完全充满？
3. R = 100 kΩ，C = 10 μF，τ 是多少？为什么不能把 10 μF 当作 10 F 代入？

<details><summary>完成后查看答案</summary>

1. 加倍。初始电流仍由 Vin/R 决定，但达到同一比例需要更久。
2. 没有，只到约 63.2%。5τ 也只是接近终值，不是数学上完全等于。
3. τ = 1 s；μ 表示百万分之一，忽略会差一百万倍。

</details>

## 过关标准

能画出起点、终点和逐渐变平的曲线，能解释电流为什么逐渐减小。无需背指数推导。

下一课：[第一份电路调试报告](10-debug.md)。